Jumat, 19 Juni 2009

Kumpulan Gambar Favorit




Diberikan a, n \in \mathbb{Z} . Bilangan bulat a dikatakan membagi (devide) n jika terdapat b \in \mathbb{Z} sedemikian hingga n=ab .

Jika a membagi n, maka a disebut dengan pembagi (divisior) dari n, dan n disebut dengan kelipatan (multiple) dari a. Bilangan bulat a yang membagi n ditulis a|n .

Contoh: 5|30 dan 7|42

Sifat-sifat: Diberikan a, b, c \in \mathbb{Z} .

1. Jika a|b dan b|c, maka a|c .
2. Jika a|b , maka ac|bc , untuk setiap c \in \mathbb{Z} .
3. Jika c|a dan c|b , maka c | (da+eb) , untuk setiap d, e \in \mathbb{Z} .
4. Jika a|b dan b \neq 0 , maka |a| \leq |b| .
5. Jika a|b dan b|a , maka |a|=|b| .
Berikut ini adalah definisi pemetaan.

Misalkan A dan B adalah himpunan
Pengaitan f dari A ke B dikatakan suatu pemetaan jika setiap unsur dari A dikaitkan dengan tepat satu unsur di B.
----------------------------------------------------
Pemetaan sering juga disebut fungsi.

contoh:

Misalkan A = {a,b,c} dan B = {x,y,z,w}
Pengaitan f dimana
a dikaitkan dengan x ditulis f(a) = x
b dikaitkan dengan z ditulis f(b) = z
c dikaitkan dengan x ditulis f(c) = x

Pada contoh diatas tidak masalah x merupkan hasil dari pengaitan a dan b, yang tidak boleh adalah a dikaitkan ke dua unsur di b
------------------------------------------------




Ring(Gelanggang)
BAB I
RING (GELANGGANG)
1.1 Pengertian Ring
Di dalam Struktur Aljabar I telah dibahas struktur aljabar atau sistem aljabar yang terdiri dari satu himpunan dan satu operasi biner, seperti: monoid, semigrup, grupoid, grup dan grup abelian. Selanjutnya di dalam buku ini akan dibahas struktur aljabar yang terdiri dari satu himpunan dan dua operasi biner.
Definisi 1.1.1 Suatu himpunan tak kosong R dilengkapi dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) disebut ring atau gelanggang jika dipenuhi sifat-sifat berikut:
1). R tertutup terhadap penjumlahan: untuk setiap x, y R berlaku x + y R.
2). Penjumlahan di R assosiatif: untuk setiap x, y, z R berlaku
x + (y + z) = (x + y) + z.
3). R memiliki elemen netral 0 terhadap penjumlahan: untuk setiap x R berlaku x + 0 = 0 + x = x,
4). R memuat invers-invers terhadap penjumlahan: untuk setiap x di R, terdapat –x di R sedemikian sehingga x + (-x) = 0 = (-x) + x.
5). Penjumlahan di R komutatif: untuk setiap x, y R, berlaku x + y = y + x.
6). R tertutup terhadap perkalian: untuk setiap x, y R berlaku x.y R.
7). Perkalian di R assosiatif : untuk setiap x, y, z R berlaku
x . (y . z) = (x . y) . z.
8). Dua hukum distributif dipenuhi di R : untuk setiap x, y, z R berlaku
x . (y + z) = x . y + x . z dan (x + y) . z = x . z + y . z,
Selanjutnya, notasi x.y akan ditulis xy saja.
Pada pembahasan selanjutnya, jika suatu himpunan R dilengkapi operasi penjumlahan dan perkalian yang dinotasikan dengan + dan . akan ditulis dengan ring (R, +, .) atau ring R saja tanpa menuliskan kedua operasinya.
Berikut ini akan diberikan beberapa contoh ring
Contoh 1.1 Himpunan bilangan bulat, yang dinotasikan dengan Z adalah suatu ring dibawah operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan bulat yang berturut-turut dinotasikan dengan + dan ..
Bukti: Berdasarkan postulat-postulat pada bilangan bulat , yaitu :
1. Postulat-postulat penjumlahan.
Ada suatu operasi biner yang didefinisikan di Z yang disebut penjumlahan dan dinotasikan dengan +, yang memenuhi kondisi sebagai berikut :
a. Z tertutup terhadap penjumlahan.
b. Penjumlahan di Z assosiatif.
c. Z memuat satu elemen 0 yaitu elemen netral (nol) untuk penjumlahan.
d. Untuk setiap x Z, terdapat suatu invers penjumlahan dari x di Z, dinotasikan dengan –x, sedemikian sehingga x + (-x) = (-x) + x = 0.
e. Penjumlahan di Z bersifat komutatif.
2. Postulat-postulat perkalian.
Ada suatu operasi biner yang didefinisikan di Z yang disebut perkalian dan dinotasikan dengan ., yang memenuhi kondisi sebagai berikut :
a. Z tertutup dibawah perkalian.
b. Perkalian di Z bersifat assosiatif.
c. Z memuat suatu elemen 1 yang berbeda dengan elemen 0 yaitu elemen identitas untuk perkalian.
d. Perkalian di Z bersifat komutatif.
3. Hukum distributif, x . (y + z) = x . y + x . z dipenuhi untuk setiap x, y, z Z.
dan karena perkalian di Z bersifat komutatif, maka
(y + z) . x = x . (y + z)
= x . y + x . z, karena perkalian di Z bersifat komutatif, maka
= y . x + z . x, sehingga kedua hukum distibutif yang disyaratkan untuk menjadi ring dipenuhi. Akibatnya, semua kondisi yang disyaratkan untuk menjadi ring seperti pada Definisi 1.1.1 dipenuhi. Ini berarti (Z, +, .) adalah suatu ring.
Contoh 1.2 Diberikan R = {a, b, c} dilengkapi tabel penjumlahan dan perkalian sebagai berikut:
Tabel 1. Operasi Penjumlahan dan Perkalian pada R
+ a b c . a b c
a a b c a a a a
b b c a b a c b
c c a b c a a b
maka (R, +, .) bukanlah suatu ring karena perkalian pada R tidak bersifat assosiatif, karena terdapat b . (c . c) = b . b = c tetapi (b . c) . c = b . c = b.
Contoh 1.3 Jika Q menyatakan himpunan semua bilangan rasional, R menyatakan himpunan semua bilangan real dan C menyatakan himpunan semua bilangan kompleks, maka terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa pada himpunan-himpunan tersebut, (Q,+,.), (R,+,.) dan (C,+,.) masing-masing merupakan ring.
Contoh 1.4 Misalkan Z adalah himpunan semua bilangan bulat. Pada Z didefinisikan operasi penjumlahan biasa dan perkalian * yang didefinisikan dengan a*b = b, untuk setiap a, b di Z. Akan ditunjukkan bahwa (Z,+,*) bukan merupakan ring dengan menunjukkan bahwa pada Z tidak berlaku distributive kiri, yaitu (a + b)*c = c, tetapi a*c + b*c 0. a*c + b*c, untuk c = c + c = 2c. Jadi (a + b)*c
Contoh 1.5 Misalkan Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}. Pada Z5 didefinisikan operasi 5) sebagai berikut:penjumlahan modulo 5 (+5) dan perkalian modulo 5 (
Tabel 2. Operasi Penjumlahan dan Perkalian modulo 5 pada Z5
+5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4
2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3
3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2
4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1
Di Teori Grup telah diketahui bahwa (Z5, +5) merupakan grup. Selanjutnya dalam tabel di atas dapat dilihat bahwa perkalian modulo 5 dan dua unsur di dalam Z5 tetap merupakan unsur dalam Z5 lagi. Ini berarti Z5 tertutup terhadap operasi perkalian modulo 5. Sifat assosiatif terhadap perkalian modulo 5 dapat diselidiki satu per satu, demikian juga sifat distributif kiri dan distributif kanannya. Hal ini mungkin dilakukan karena banyaknya elemen dari Z5 berhingga. Dengan 5) merupakan ring dengandemikian dapat disimpulkan bahwa (Z5, +5, banyaknya elemen berhingga.
Contoh 1.6 Misalkan R adalah himpunan bilangan real dan S himpunan fungsi –fungsi bernilai real yang didefinisikan pada R, berarti S = {f R | f fungsi}. Pada S didefinisikan penjumlahan dan perkalian: R R, S dan x fungsi biasa, yaitu: untuk setiap f, g
(f + g)(x) = f(x) + g(x) dan (fg)(x) = f(x)g(x).
Menggunakan definisi penjumlahan dan perkalian fungsi di atas, maka dapat dibuktikan dengan mudah bahwa penjumlahan dan perkalian fungsi di atas merupakan operasi biner pada S. Dengan kata lain, pada S berlaku sifat tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian. Selanjutnya diselidiki sifat-sifat ring yang lain, sebagai berikut:
a). Sifat assosiatif terhadap penjumlahan.
Untuk sebarang R, berlaku S dan x f, g, h
{(f + g) + h}(x) = (f + g)(x) + h(x) , definisi penjumlahan fungsi
= {f(x) + g(x)} + h(x) , definisi penjumlahan fungsi
= f(x) + {g(x) + h(x)} , sifat assosiatif pada R
= f(x) + {(g + h)(x)} , definisi penjumlahan fungsi
={f + (g + h)}(x). , definisi penjumlahan fungsi
Ini berarti (f + g) + h = f + (g + h), untuk setiap f, g, h di S.
b). Terdapat elemen netral (nol) terhadap penjumlahan.
(x) = 0 yang didefinisikan dengan Di dalam S terdapat fungsi nol untuk setiap x di R, sedemikian hingga untuk sebarang fungsi f di S dan x di R berlaku:
+ f)(x)( (x) + f(x)= , definisi penjumlahan fungsi
= 0 + f(x) , definisi fungsi nol
= f(x)
dan
)(x)(f + (x)= f(x) + , definisi penjumlahan fungsi
= f(x) + 0 , definisi fungsi nol
= f(x).
Ini berarti ), + f) = f = (f + ( disebut elemen netral (nol) di S.untuk setiap f di S. Fungsi nol
c). Terdapat elemen invers terhadap penjumlahan.
Untuk setiap fungsi f di S terdapat fungsi –f di S yang didefinisikan dengan (-f)(x) = -f(x), untuk setiap x di R, sedemikian hingga berlaku:
((-f) + f)(x) = (-f)(x) + f(x) , definisi penjumlahan fungsi
= -f(x) + f(x) , definisi fungsi (-f)
= 0 , definisi elemen nol di R
(x)= , definisi operator nol
dan
(f + (-f))(x) = f(x) + (-f)(x) , definisi penjumlahan fungsi
= f(x) – f(x) , definisi fungsi (-f)
= 0 , definisi elemen nol di R
(x)= , definisi operator nol.
= (f + (-f)), untuk setiap f di S. FungsiIni berarti ((-f) + f) = (-f) disebut elemen invers terhadap penjumlahan di S dari f.
d). Sifat Komutatif terhadap penjumlahan.
Untuk sebarang R, berlaku S dan x f, g
(f + g) (x) = f(x) + g(x) , definisi penjumlahan fungsi
= g(x) + f(x) , sifat komutatif thd + di R
= (g + f)(x) , definisi penjumlahan fungsi
Ini berarti (f + g) = (g + f), untuk setiap f, g di S.
e). Sifat assosiatif terhadap perkalian.
Untuk sebarang R, berlaku S dan x f, g, h
{(fg)h}(x) = (fg)(x) h(x) , definisi perkalian fungsi
= {f(x) g(x)} h(x) , definisi perkalian fungsi
= f(x) {g(x) h(x)} , sifat assosiatif pada R
= f(x) {(gh)(x)} , definisi perkalian fungsi
={f(gh)}(x). , definisi perkalian fungsi
Ini berarti (fg)h = f(gh), untuk setiap f, g, h di S.
f). Sifat distributif kanan dipenuhi.
Untuk sebarang R, berlaku S dan x f, g, h
{(f + g)h}(x) = (f + g)(x) h(x) , definisi perkalian fungsi
= {f(x) + g(x)} h(x) , definisi penjumlahan fungsi
= f(x)h(x) + g(x) h(x) , sifat distributif kanan pada R
= (fh)(x) + (gh)(x) , definisi perkalian fungsi
={fh + gh}(x) , definisi penjumlahan fungsi
Ini berarti (f + g)h = (fh + gh), untuk setiap f, g, h di S.
Dengan cara yang serupan dapat ditunjukkan bahwa f(g + h) = fg + fh, untuk setiap f, g, h di S.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa (S, +, .) merupakan ring.
Berikut ini diberikan definisi mengenai ring dengan elemen satuan dan ring komutatif.
Definisi 1.1.2 Misal R adalah suatu ring. Jika terdapat suatu elemen e di R sedemikian sehingga x . e = e . x = x, untuk setiap x di R, maka e disebut elemen satuan dan R dinamakan ring dengan elemen satuan. Jika perkalian di R bersifat komutatif, maka R disebut ring komutatif.
Contoh 1.7 Pada Contoh 1.1 telah dibuktikan bahwa (Z, +, .) adalah suatu ring. Berdasarkan pada postulat yang dikemukakan pada Contoh 1.1, maka Z adalah suatu ring komutatif dan juga ring dengan elemen satuan yaitu 1, karena x . 1 = 1 . x = x, untuk setiap x di Z.
Contoh 1.8 Jika E merupakan himpunan bilangan bulat genap, maka E terhadap operasi + dan . seperti pada Z juga merupakan ring. Ring E adalah ring komutatif tetapi bukanlah suatu ring dengan elemen satuan.
Contoh 1.9 Misalkan R adalah himpunan matriks berukuran 2 x 2 dengan entri-entri bilangan bulat
R = a, b, c,d Z
maka R merupakan ring terhadap operasi pernjumlahan dan perkalian matrik. Ring R adalah ring dengan elemen satuan I = , karena AI = IA = A, untuk setiap A R, tetapi R bukanlah suatu ring komutatif karena berdasarkan sifat perkalian pada matrik, AB ≠ BA.
Latihan 1.1
Z} terhadap2 | a,b 2) = {a + b1. Tunjukkan bahwa himpunan Z( penjumlahan dan perkalian bilangan biasa merupakan ring komutatif dengan elemen satuan.
2. Misalkan C = {(a,b) | a,b R}. Pada C didefinisikan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (•) sebagai berikut:
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) dan (a,b) • (c,d) = (ac – bd, ad + bc)
Tunjukkan bahwa (C,+, •) merupakan ring komutatif dengan elemen satuan.
3. Selidiki apakah H = {0, 2, 4, 6, 8} terhadap penjumlahan modulo 10 dan perkalian modulo 10 merupakan ring dengan elemen satuan!
4. Misalkan Zn = {0,1,2,3,…, n-1}. Pada Zn didefinisikan operasi penjumlahan modulo n (+n) dan perkalian modulo n (•n). Tunjukkan bahwa (Zn,+n, •n) merupakan ring komutatif dengan elemen satuan.
5. Misalkan Q himpunan semua bilangan rasional dan
M2(Q) = .
a). Tunjukkan bahwa M2(Q) terhadap penjumlahan dan perkalian matriks merupakan ring?
b). Apakan M2(Q) merupakan ring komutatif?
c). Apakah M2(Q) memuat elemen satuan?
R | f fungsi kontinu bernilai real}6. Tunjukkan bahwa H = {f : R terhadap operasi penjumlahan dan perkalian fungsi merupakan ring komutatif dengan elemen satuan!
7. Misalkan G = {a + bi | a,b bilangan-bilangan bulat dan i2 = -1}. Selanjutnya G disebut himpunan bilangan Gauss. Tunjukkan bahwa G terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan kompleks merupakan ring komutatif dengan elemen satuan.
8. Diketahui R adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan
R}.R2 = {(a,b) | a,b
Pada R2 didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian sebagai berikut:
(a,b) + (c,d) = (a+b, c+d)
dan
(a,b) *(c,d) = (ac, bd).
Tunjukkan bahwa (R2,+,*) merupakan ring komutatif dengan elemen satuan!
9. Misalkan (R,+,*) merupakan ring dengan elemen satuan 1. Pada R didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian lain sebagai berikut:
b = a + b + aa dan b = a*b + a + b.a
) juga merupakan ring dengan elemen satuan!,Tunjukkan bahwa (R,
10. Misalkan R adalah himpunan semua simbol
22e22 =21e21 + 12e12 + 11e11 + 
ij adalah bilangan rasional. Pada R didefinisikandengan semua
(i) = jika dan hanya jika ij untuk semua i,j = 1, 2.ij = 
(ii) + =
(ii) . = dengan .
Tunjukkan bahwa (R,+,.) merupakan ring dengan elemen satuan.
1.2 Sifat-sifat Ring
Teorema berikut menyajikan sifat-sifat dasar dari ring.
Teorema 1.2.1 Misalkan R adalah ring dengan elemen satuan. Untuk sebarang a, b, c di R, pernyataan-pernyataan berikut benar:
1). a0 = 0a = 0, dengan 0 adalah elemen netral di R.
2). a(-b) = (-a)b = -(ab)
3). (-a)(-b) = ab
4). –(a + b) = (-a) + (-b)
5). a(b-c) = ab – ac
6). (b-c)a = ba – ca
7). (-1)a = -a, dengan 1 elemen satuan di R.
Bukti:
1). Jika R makaa
a0 = a(0 + 0) sifat elemen netral 0 = 0 + 0.
= a0 + a0 sifat distributif kanan
Akibatnya karena R merupakan grup terhadap penjumlahan, maka apabila kedua ruas ditambah dengan –(a0) diperoleh
-(a0) + a0 = -(a0) + (a0 + a0)
0 = [-(a0) + a0] + a0
0 = 0 + a0
0 = a0.
Dengan cara serupa dapat ditunjukkan bahwa 0a = 0.
2). Untuk menunjukkan a(-b) = -(ab), harus diperlihatkan bahwa ab + a(-b) = 0.
Perhatikan bahwa
ab + a(-b) = a [b + (-b)] sifat distributif
= a.0 sifat elemen invers terhadap penjumlahan
= 0 hasil dari 1).
Ini berarti a(-b) = -(ab).
Dengan cara serupa dapat ditunjukkan bahwa (-a)b = -(ab).
3). Dengan menggunakan hasil 2) diperoleh
(-a)(-b) = -[a(-b)] hasil dari 2).
= -[-(ab)] hasil dari 2).
= ab karena -(-x) = x .
4). sampai dengan 7). Diserahkan kepada pembaca sebagai laihan.
Definisi mengenai elemen satuan pada ring, memungkinkan terdapat lebih dari satu elemen satuan pada ring R. Akan tetapi teorema di bawah ini akan menjamin bahwa kemungkinan tersebut tidak mungkin terjadi.
Teorema 1.2.2 Jika R adalah suatu ring dengan elemen satuan, maka elemen satuan tersebut tunggal.
Bukti: Misalkan e1 dan e2 adalah elemen satuan di R. Perhatikan bahwa e1 . e2 = e1, karena e2 adalah elemen satuan. Padahal e1 . e2 = e2, karena e1 juga elemen satuan. Akibatnya
e1 = e1 . e2 = e2
Telah ditunjukkan bahwa elemen satuan di R adalah tunggal.
Pada ring dengan elemen satuan, perlu dipertimbangkan adanya invers terhadap perkalian. Berikut ini diberikan definisi mengenai invers terhadap perkalian.
Definisi 1.2.3 Misal R adalah suatu ring dengan elemen satuan e dan misalkan a R. Jika terdapat suatu elemen x di R sedemikian hingga ax = xa = e, maka x disebut invers perkalian dari a.
Seperti halnya pada elemen satuan, invers perkalian juga tunggal.
Teorema 1.2.4 Misalkan R adalah suatu ring dengan elemen satuan e. Jika elemen a R memiliki invers perkalian, maka invers perkalian dari a adalah tunggal.
Bukti: Misalkan x dan y adalah invers perkalian dari a. Diperhatikan ax = xa = e, karena x adalah invers perkalian dari a dan ay = ya = e, karena y juga invers perkalian dari a.
Akibatnya x = ex, karena e adalah elemen identitas
= (ya)x, karena ya = e
= y(ax), dengan sifat assosiatif
= ye, karena ax = e
= y, karena e adalah elemen identitas.
Telah ditunjukkan invers perkalian dari a adalah tunggal.
Pada pembahasan selanjutnya invers perkalian dari a akan dinotasikan dengan a-1.
Definisi 1.2.5 Misalkan F adalah suatu ring. Ring F disebut lapangan (field) jika syarat-syarat berikut ini dipenuhi:
1. F adalah ring komutatif.
2. F memiliki elemen satuan e dan e ≠ 0.
3. Setiap elemen tak nol di F memiliki invers perkalian.
Contoh 1.10 Misal (R, +, .) adalah ring himpunan bilangan riil. Ring (R,+,.) adalah suatu lapangan. Untuk membuktikan ini berturut-turut ditunjukkan:
(i) R adalah ring komutatif.
Berdasarkan sifat perkalian pada R, maka a . b = b . a, untuk setiap a, b R. Ini berarti R adalah ring komutatif.
(ii) R memiliki elemen satuan e dan e ≠ 0.
Elemen satuan R adalah 1 ≠ 0, karena a . 1 = 1 . a = a, untuk setiap a R.
Telah ditunjukkan R memiliki elemen satuan 1 dan 1 ≠ 0.
(iii) Setiap elemen tak nol di R memiliki invers perkalian.
Diambil sebarang a R, dengan a ≠ 0, maka terdapat b = R sedemikian sehingga a . b = a . = b . a = 1. Ini berarti setiap a ≠ 0 R memiliki invers perkalian yaitu .
Jadi R adalah suatu lapangan.
Contoh 1.11 Pada Contoh 1.1 telah dibuktikan bahwa (Z, +, .) adalah suatu ring, tetapi ring (Z, +, .) bukanlah suatu lapangan karena syarat (3) pada Definisi 1.2.5 tidak dipenuhi, karena terdapat 0 ≠ 2 Z, tetapi jika diambil sebarang b Z tidak ada yang memenuhi persamaan 2 . b = b . 2 = 1.
Sebelum dibahas mengenai salah satu kelas khusus ring, yaitu integral domain, berikut ini akan diberikan terlebih dahulu definisi pembagi nol.
Definisi 1.2.6 Jika R adalah suatu ring komutatif, maka 0 ≠ a R disebut sebagai pembagi nol jika terdapat 0 ≠ b R sedemikian sehingga ab = 0.
Definisi 1.2.7 Suatu ring komutatif R disebut daerah integral (integral domain) jika R tidak memiliki pembagi nol.
Contoh 1.12 Misal (Z, +, .) adalah suatu ring, maka Z adalah suatu daerah integral.
Bukti : Jelas bahwa (Z, +, .) merupakan ring komutatif. Untuk membuktikan bahwa Z tidak memuat pembagi nol, diambil sebarang a ≠ 0 Z. Kemudian untuk persamaan ab = 0, dengan a ≠ 0 maka haruslah b = 0. Ini berarti tidak ada b ≠ 0 Z yang memenuhi persamaan ab = 0. Telah ditunjukkan (Z, +, .) adalah suatu daerah integral.
Latihan 1.2
1. Lengkapilah bukti Teorema 1.2.1.
R, maka buktikan bahwa2. Jika R merupakan ring dan a, b
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2.
3. Nyatakan bentuk umum Teorema Binomial di dalam sebarang ring, dengan kata lain tentukan ekspresi untuk (a + b)n, dengan n bilangan bulat positif.
4. Ring R disebut ring boolean jika untuk setiap elemen a di R berlaku a2 = a. Tunjukkan bahwa jika R ring boolean maka R ring komutatif!
5. Tunjukkan bahwa ring komutatif D adalah daerah integral jika dan 0, relasi ab = ac mengakibatkan D dengan a hanya jika untuk a, b, c b = c!
6. Buktikan bahwa sebarang lapangan (field) adalah daerah integral!
7. Buktikan bahwa Zp dengan p bilangan prima terhadap operasi penjumlahan modulo p dan operasi perkalian modulo p merupakan daerah integral.
8. Buktikan bahwa sebarang daerah integral dengan banyak anggota hingga merupakan lapangan!
9. Berikan contoh daerah integral yang bukan lapangan!

1

BAB I

PEMETAAN , OPERASI DAN RELASI EKUIVALENSI

Definisi.

Diberikan V himpunan sebarang objek-objek dengan dua operasi yang

didefinisikan sebagai penjumlahan dan perkalian oleh scalar (bilangan riil).

Penjumlahan adalah aturan yang menghubungkan tiap pasangan u,v Î V

dengan elemen u+v, disebut jumlah u dan v, sedangkan perkalian skalar

adalah aturan untuk menghubungkan tiap skalar k dan uÎV dengan elemen

k u.

Jika aksioma berikut dipenuhi oleh u, v, w Î V dan semua skalar-skalar k

dan l, maka V disebut ruang vektor dan objek-objek dalam V disebut vektor.

1. u+v Î V

2. u + v = v + u

3. u + (v + w) = (u + v ) + w

4. terdapat 0 Î V, sehingga untuk setiap uÎ V, berlaku 0 + u = u + 0 = u

5. untuk setiap uÎ V, terdapat -uÎ V, sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0

6. untuk setiap uÎ V, dan skalar k, maka k u Î V

7. k(u+v) = ku = kv

8. (k+l) u = ku + lu

9. k(lu) = (kl)u

10. 1u = u

Beberapa sifat ruang vektor adalah :

1. 0u = 0

2. k0 = 0

3. (-1)u = -u

4. jika k u = 0 , maka k = 0 atau u = 0

untuk setiap u Î V dan k skalar.

Definisi.

Himpunan bagian W dari ruang vektor V disebut ruang bagian dari V jika W

merupakan ruang vektor di dalam penjumlahan dan perkalian scalar yang

didefinisikan pada V.

2

Teorema penting tentang ruang vektor bagian :

Jika W adalah himpunan satu atau lebih vektor-vektor dari ruang vektor V, maka

W ruang bagian dari V bila syarat berikut dipenuhi :

1. jika u dan v dalam W, maka u+v dalam W

2. jika k skalar dan u vektor dalam W, maka k u dalam W.

Definisi.

Jika f : V ® W fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W, maka f disebut

pemetaan linier jika memenuhi :

1. f ( u + v ) = f (u) + f(v), untuk setiap u, v Î V

2. f (ku) = k f(u) , untuk setiap u Î V, k skalar

Salah satu struktur yang berkaitan dengan ruang vektor adalah Kernel dan

Range.

Sebelum diberikan pengertian Kernel dan Range, akan dibahas sifat-sifat berikut

sebagai dasar pembentukan kernel dan range.

Teorema

Jika T : V ® W adalah pemetaan linier, maka

1. T(0) = 0

2. T(-v) = - T(v) untuk setiap v Î V

3. T(v-w) = T (v) – T(w) untuk setiap v,w Î V

Definisi.

Jika T : V ® W adalah pemetaan linier, maka

{ x Î V | T(x) = 0 } = Kernel T.

Range dari T yaitu R(T) = { y Î W | T(x) = y, x Î V}.

Soal latihan :

1. Jika V adalah himpunan semua matriks berordo 2x2, buktikan V adalah

ruang vektor.

2. Diberikan f : R2 ® R3 dengan definisi jika v = (x,y) Î R2 maka

f(v) = ( x, x+y, x-y ).

Buktikan f merupakan pemetaan linier.

3. Diberikan f : R2 ®R2 dengan definisi f(x,y) = ( x, y+1).

Buktikan apakah f pemetaan linier.

STRUKTUR ALJABAR II 1

BAB II

RING DAN TEOREMA-TEOREMA DASAR PADA RING

A. Ring dan Teorema Sederhana dari Ring

Dalam teori grup telah dipelajari tentang suatu himpunan dengan satu

operasi.Sebagai kelanjutan dari grup akan dipelajari suatu himpunan

dengan dua operasi dan bentuk tersebut dinamakan ring.

Definisi a.1.

Suatu ring adalah suatu himpunan R tak kosong beserta dua operasi

pada R, yang disebut penjumlahan (a+b) dan pergandaan (a.b),

sedemikian sehingga setiap aksioma berikut dipenuhi :

R dengan penjumlahan merupakan grup Abelian memenuhi

1. " a,b Î R, $ c Î R sedemikian sehingga a+b = c.

2. " a,b,c Î R, (a+b)+c = a +(b+c)

3. " a Î R, $ 0 Î R , a+0 = 0+a = a

4. " aÎ R, $ -a Î R , a+(-a) = (-a)+a = 0

5. " a,b Î R, a+b = b+a

R dengan pergandaan memenuhi :

1. " a,b Î R, $ c Î R sedemikian sehingga a.b = c.

2. " a,b,c Î R, (a.b).c = a.(b.c)

R dengan komposisi kedua operasi memenuhi :

" a,b,c Î R, a.(b+c) = a.b+a.c dan (a+b).c = a.c+b.c 

Contoh :

1. Himpunan bilangan bulat membentuk ring dengan operasi

penjumlahan dan pergandaan. Demikian juga pada himpunan

bilangan rasional, bilangan real dan bilangan bulat genap.

STRUKTUR ALJABAR II 2

2. Untuk suatu bilangan bulat positif n, Zn bilangan bulat modulo n,

membentuk sebuah ring dengan operasi Å dan Ä yang

didefinisikan sebagai berikut : untuk [a],[b]Î Zn , [a] Å [b] = [a+b]

dan [a] Ä [b]= [ab]. Dapat ditunjukkan bahwa Zn dengan Å

merupakan grup Abelian dan Zn dengan Ä memenuhi sifat

asosiatif.

3. Diberikan S adalah himpunan semua bilangan real berbentuk

x+yÖ2 , dengan x,yÎZ, dengan operasi penjumlahan dan perkalian.

Dapat dibuktikan bahwa S tertutup terhadap kedua operasi

tersebut. S adalah ring komutatif dengan elemen satuan.

4. Diberikan K = {a,b,c,d} dengan penjumlahan dan pergandaan yang

didefinisikan oleh tabel berikut

(+) a b c d

A a b c d

B b a d c

C c d a b

D d c b a

(.) a b c d

A a a a a

B a b c d

C a a a a

D a b c d

Ring K bukan ring komutatif. Dari operasi pergandaan terlihat,

sebagai contoh, cd = a dan dc = c.

STRUKTUR ALJABAR II 3

5. Diberikan L, himpunan ZxZxZ, L adalah himpunan (a,b,c) dengan

a,b,c Î Z dan didefinisikan

(a,b,c) + (d,e,f) = (a+d, b+e, c+f)

(a,b,c)(d,e,f) = (ad,bd+ce,cf)

Dapat ditunjukkan bahwa L bukan ring Komutatif.

Karena suatu ring merupakan grup terhadap, sifat-sifat dasar dari ring

yang berkaitan dengan penjumlahan termuat dalam sifat-sifat dasar grup

terhadap penjumlahan.

Sebagai contoh, hukum kanselasi dan hukum (a-1)-1 = a karena –(-a)=a.

Teorema berikut memberikan ringkasan dari sifat tersebut.

Sesuai kesepakatan dalam grup : jika n adalah bilangan bulat positif,

maka

na = a+a+…+a (n suku) dan (-n)a = -(na)

Teorema a.1.

Diberikan R ring.

Elemen nol dari R adalah tunggal.

Bukti :

Misal x,y Î R sedemikian sehingga untuk setiap aÎR berlaku

a+x = a dan a+y=a.

Jika diambil xÎR dengan y elemen nol maka x+y=x.

Jika diambil yÎR dengan x elemen nol maka y+x=y.

Karena x+y = y+x maka x=y. g

Teorema a.2.

Setiap elemen dari R mempunyai negatif tunggal.

(Invers penjumlahan dari setiap elemen dalam ring R adalah tunggal).

Bukti :

Misalkan a+x = 0 dan a+y = 0

Maka a+x = a+y dengan kanselasi diperoleh x=y. g

STRUKTUR ALJABAR II 4

Teorema a.3. Hukum Kanselasi penjumlahan

Jika a,b,c Î R maka berlaku

i). Jika a+c = b+c maka a=b

ii). Jika c+a = c+b maka a=b

Bukti :

Akan dibuktikan untuk (i).

Diberikan a+c = b+c

Menurut definisi grup, untuk cÎR, ada tÎR sedemikian

sehingga c+t = 0.

Maka untuk a+c = b+c diperoleh (a+c)+t = (b+c)+t

Tetapi (a+c)+t = a+(c+t) = a + 0 = a.

Akibatnya, (b+c)+t = b+(c+t) = b+0 = b

Maka a=b. g

Teorema a.4.

Jika a dan b adalah elemen dari suatu ring R, persamaan a+x=b

mempunyai penyelesaian tunggal x = b-a dalam R.

Bukti :

a+x = a +(b-a)= a+((-a)+b) = (a+(-a))+b = 0+b = b

Ketunggalan dari penyelesaian tersebut ditunjukkan dengan hukum

kanselasi berikut.

Jika a+x = b dan a+y= b maka a+x = a+y.

Mengakibatkan x=y. g

Karena setiap elemen aÎR mempunyai tepat satu invers penjumlahan,

maka dapat disingkat b+(-a) dengan b-a.

Karena a+(-a) = 0, dapat dilihat bahwa a adalah invers penjumlahan

dari –a, yaitu –(-a) = a. Maka dapat diuraikan teorema berikut :

Teorema a.5.

Untuk a,b,c elemen-elemen ring R berlaku

i). –(-a) = a

STRUKTUR ALJABAR II 5

ii). –(a+b) = -a–b

iii). –(a-b) = -a+b

iv). (a-b)-c = a-(b+c)

Teorema a.6.

Suatu ring mempunyai tepat satu elemen satuan.

Bukti :

Misal e,e’Î R sedemikian sehingga untuk setiap aÎR, berlaku

ea = ae = a ……..(1)

dan juga e’a = ae’ = a ………(2)

Dengan cara yang sama, dari persamaan (1) berlaku juga untuk

a=e’ sehingga dipunyai ee’ = e’e = e’ ……..(3)

Dan untuk a=e dari persamaan (2) diperoleh

e’e = ee’ = e ………(4)

Dari persamaan (3) dan (4) menyebabkan e=e’, sehingga hanya

ada satu elemen satuan. g

Definisi a.2.

Diberikan a elemen dari ring R dengan elemen satuan e.

Jika ada elemen s dari R sedemikian sehingga as = sa = e, maka s

disebut invers perkalian dari a. 

Terdapat perbedaan antara invers penjumlahan dan invers perkalian pada

ring. Dalam ring dari himpunan bilangan real, setiap elemen taknol

mempunyai invers perkalian. Dalam ring bilangan bulat, ada tepat dua

elemen yang mempunyai invers perkalian, yaitu 1 dan –1.

Teorema a.7.

Jika a elemen ring R dengan elemen satuan e mempunyai invers

perkalian, maka invers perkalian tersebut tunggal.

STRUKTUR ALJABAR II 6

Bukti :

Misalkan bahwa s dan t adalah invers perkalian dari elemen a.

Maka,dari definisi sa = e dan hukum asosiatif dari perkalian, maka

s(at) = (sa)t = et = t.

Karena at = e, maka s(at) = se = s.

Jadi s = t. g

Bila a mempunyai invers perkalian, maka menandakan invers

perkaliannya dengan a-1.

Teorema a.8.

Untuk setiap elemen a dari suatu ring R, dipunyai

a.0 = 0.a = 0

Bukti :

Karena a+0 = a, maka a(a+0) = a.a

Dari hukum distributif didapat a(a+0) = a.a + a.0

Sehingga a.a + a.0 = a.a. Dengan kanselasi maka a.0 = 0. g

Bila R adalah ring komutatif, maka dapat dibuktikan juga bahwa a.0 = 0.

Jika R tidak komutatif,bukti bahwa 0.a = 0 dapat dengan mudah

menggunakan bentuk lain dari hukum distributif.

Teorema a.9.

Diberikan R ring, 0 elemen nol dari R dan a,b,c ÎR.

i). a(-b)= (-a)b = -(ab)

ii). (-a)(-b) = ab

iii). a(b-c) = ab – ac dan (a-b)c = ac – bc

Bukti :

i). Diberikan a(b+(-b)) = a.0 = 0……(1)

Dengan hukum distributif, diperoleh

a(b+(-b)) = ab + a(-b) ……..(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh ab + a(-b) = 0.

STRUKTUR ALJABAR II 7

Karena ab mempunyai invers penjumlahan tunggal yaitu –(ab)

maka

a(-b) = -(ab).

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan (-a)b = -(ab).

ii). Dengan menggunakan teorema 9.i) di atas maka

(-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab))

Karena ab adalah invers penjumlahan dari –(ab) maka

–(-(ab)) = ab.

iii). Perhatikan bahwa b-c adalah notasi untuk b+(-c).

Dan menggunakan teorema 9.i) dan hukum distributif maka

diperoleh

a(b-c) = a(b+(-c)) = ab+a(-c) = ab + -(ac) = ab-ac

Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan untuk

(a-b)c = ac – bc. g

Suatu elemen e dalam ring R disebut elemen satuan (identitas terhadap

operasi perkalian) dari ring jika ea = ae = a untuk setiap aÎR.

Dalam keadaan tersebut elemen satuan adalah elemen identitas untuk

perkalian. Bilangan 1 adalah elemen satuan untuk ring dari bilangan bulat.

Ring dari himpunan bilangan bulat ganjil tidak mempunyai elemen satuan.

Suatu ring R disebut komutatif jika ab = ba untuk setiap a,b ÎR.

Jika ab ¹ ba untuk suatu a,b Î R, maka R tidak komutatif.

Definisi a.3.

Jika R dan S adalah ring, suatu ring dengan elemen-elemennya adalah

elemen dari himpunan hasilkali RxS, dengan operasi penjumlahan dan

perkalian yang didefinisikan sebagai berikut :

(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+ r2, s1+s2)

(r1, s1).(r2, s2)= (r1r2, s1s2)

untuk r1,r2 ÎR , s1,s2 ÎS

maka RxS disebut jumlahan langsung dari ring R dan S. 

STRUKTUR ALJABAR II 8

Contoh :

Diberikan R dan S adalah ring dan RxS hasilkali Cartesius dari R dan S,

yaitu himpunan dari semua pasangan terurut (r,s) dengan rÎR, sÎS. Maka

RxS menjadi suatu ring dengan operasi berikut

(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+ r2, s1+s2)

dan (r1, s1).(r2, s2)= (r1r2, s1s2)

untuk setiap r1,r2 ÎR , s1,s2 ÎS.

Dalam contoh di atas ring RxS tidak komutatif.

Ring RxS akan komutatif bila hanya bila R dan S keduanya komutatif.

Soal Latihan

1. Buktikan bahwa suatu elemen (a,b,c) dari ring L dalam contoh 5,

mempunyai invers perkalian bila dan hanya bila a = ±1 dan c = ±1.

2. Diberikan ring dengan 4 anggota a,b,c,d.

Operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan sebagai berikut :

(+) a b c d

a a b c d

b b a d c

c c d a b

d d c b a

(.) a b c d

a a a a a

b a b c d

c a a a a

d a b c d

STRUKTUR ALJABAR II 9

Buktikan bahwa setiap elemen taknol dari ring tersebut

mempunyai invers perkalian.

3. Diberikan R ring dengan elemen satuan.

Jika a dan b adalah elemen dari R yang mempunyai invers

perkalian, tunjukkan bahwa ab mempunyai invers perkalian dengan

membuktikan bahwa (ab)-1 = b-1a-1.

4. Buktikan bahwa a2 – b2 = (a+b)(a-b) untuk setiap a,b elemen ring R

bila dan hanya bila R ring komutatif.

5. Buktikan bahwa (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 untuk setiap a,b dalam ring

R bila dan hanya bila R komutatif.

B. Sifat-sifat Bersahaja dari Ring

Definisi b.1.

Misalkan R mempunyai elemen satuan e maka dengan a0 dimaksud e.

Jika m bilangan bulat positif maka am dimaksud a.a…a dengan m faktor.

Jika aÎR mempunyai invers maka dengan a-m dimaksud (a-1)m. 

Teorema b.1.

Diberikan suatu ring R dengan elemen satuan e dan untuk setiap aÎR

mempunyai invers. Maka berlaku

i). a-m = (am)-1 untuk setiap bilangan bulat m.

ii). am . an = am+n untuk setiap bilangan bulat m dan n.

iii). (am)n = amn untuk setiap bilangan bulat m dan n.

Bukti :

Akan dibuktikan untuk yang kedua.

Untuk m>0, n<0>

STRUKTUR ALJABAR II 10

Apabila n<0 n="-p">

Sehingga am. an = am. a-p

= am. (a-1)p

= a.a……a.a-1.a-1 …. a-1

= am-p = am+n

g

Definisi b.2.

Misalkan R suatu ring , aÎR dan m bilangan bulat positif.

Maka ma didefinisikan sebagai a+a+…+a dengan m suku. 

Perhatikan bahwa ma tidak didefinisikan sebagai pergandaan dari m

dengan a, sebab m adalah bilangan bulat positif (belum tentu mÎR) dan

aÎR, yang belum tentu suatu bilangan.

Pergandaan bilangan bulat positif m dengan aÎR tidak didefinisikan.

m di atas adalah lambang untuk menjumlahkan a dengan dirinya sendiri

sebanyak m suku.

Definisi b.3.

Dengan (-m)a dimaksud invers dari ma terhadap jumlahan yaitu –(ma). 

Perhatikan bahwa

(-m)a = -(ma) = -( a+a+...+a) = (-a)+(-a) +...+(-a) = m(-a).

Sehingga didapat (-m)a = -(ma) = m(-a).

Definisi b.4.

Dengan 0a, di mana 0 bilangan bulat, adalah elemen netral (elemen nol)

dari ring R.

Jadi 0a = 0. 

Perhatikan bahwa dalam rumus 0a = 0, 0 di ruas kiri adalah bilangan bulat

sedangkan 0 pada ruas kanan adalah elemen netral dari R terhadap

penjumlahan.

Teorema b.2.

STRUKTUR ALJABAR II 11

Untuk setiap a,b ÎR dan m,n bilangan bulat berlaku

i). ma + na = (m+n)a

ii). m(na) = (mn)a

iii). m(a+b) = ma + mb

iv). m(ab) = (ma)b = a(mb)

v). (ma)(nb) = (mn)(ab)

Bukti :

Akan dibuktikan untuk m>0, n>0 .

Karena ma = a + a + …. + a sebanyak m suku dan

na = a + a + …. + a sebanyak n suku , maka

ma + na = a + a + …. + a sebanyak m+n suku.

Dan dapat ditulis sebagai ma + na = (m+n)a.

Akan dibuktikan untuk m>0, n<0>

Apabila n<0 n =" -p">

m(na) = m((-p)a) = m(-(pa))

= -(pa) + (-(pa)) + ...+(-(pa))

= -(a+a+...) + .... + -(a+a+....+a)

= (mp)(-a)

= (-(mp))a = (m(-p))a = (mn)a

Bukti untuk bagian iii) dengan m>0, n>0 sebagai berikut.

m(a+b) = (a+b) + (a+b) + ….. + (a+b), sebanyak m suku.

= ( a + a + … + a ) + ( b + b + …. + b )

= ma + mb

Adapun bukti untuk (v) adalah

(ma)(nb) = (a+a+....+a)(b+b+.....+b)

= (a+a+....+a)b + (a+a+....+a)b + ......+ (a+a+...+a)b

= (ab + ab + ...+ ab) + ....+ (ab + ab+...+ab)

Dalam setiap kelompok terdapat m suku, sedangkan ada n

kelompok maka hasilnya adalah (mn)(ab). g

STRUKTUR ALJABAR II 12

(ma)(nb) = (mn)(ab) bukan hukum komutatif dari pergandaan mn

dengan ab. Sebab ma tidak berarti pergandaan dari m dengan a.

Soal Latihan

1. Buktikan bahwa jika R ring, maka sifat-sifat berikut berlaku untuk

"a,b,c ÎR, yaitu

i). –(a+b) = (-a) + (-b)

ii). (a-b) + (b-c) = a-c

iii). (a-b)c = ac - bc

2. Buktikan bahwa jika R adalah ring a,b ÎR dan ab = ba, maka

a(-b) = (-b)a dan (-a)(-b) = (-b)(-a)

3. Suatu ring R disebut ring Boolean jika a2 = a untuk setiap aÎR.

Jika R adalah ring Boolean dan aÎR, buktikan 2a = 0.

Kemudian buktikan bahwa R komutatif. (Gunakan (a+b)2 ).

4. Diberikan A menyatakan himpunan bilangan bulat genap.

Buktikan bahwa dengan operasi penjumlahan biasa dan perkalian

yang didefinisikan sebagai m*n = (1/2) mn, A adalah ring.

Apakah A mempunyai elemen satuan ?

5. Buktikan bahwa a2 – b2 = ( a + b ) ( a – b ) untuk setiap a,b elemen

ring R bila dan hanya bila R ring komutatif.

STRUKTUR ALJABAR II 13

C. Subring ( Ring Bagian )

Definisi c.1.

Suatu himpunan bagian tak kosong S dari ring R disebut subring dari R

jika S adalah ring terhadap kedua operasi pada R. 

Contoh :

Ring dari bilangan bulat genap adalah subring dari ring himpunan

bilangan bulat.

Dan ring dari bilangan bulat adalah subring dari ring bilangan rasional.

Syarat perlu cukup agar S merupakan subring diberikan dalam teorema

berikut.

Teorema c.1.

Diberikan R ring dan S suatu himpunan bagian tak kosong dari R.

Maka S merupakan subring dari R bila dan hanya bila syarat berikut

dipenuhi :

Untuk a,bÎR , ab ÎS dan a-b ÎS.

Bukti :

Bila S merupakan subring dari ring R, berarti S adalah ring

terhadap kedua operasi dari R.

Maka dipenuhi :

1). Untuk setiap a,b ÎS, abÎS.

2). Untuk setiap a,b ÎS, a+b ÎS

3). Untuk setiap a ÎS, -a ÎS g

Contoh :

Diberikan F = M (R) melambangkan himpunan semua fungsi f : R ® R.

Diberikan (f+g) (x) = f(x) + g(x) ; untuk setiap xÎR.

(fg) (x) = f(x) g(x) ; untuk setiap x ÎR.

STRUKTUR ALJABAR II 14

Dapat dibuktikan bahwa M(R) dengan kedua operasi tersebut merupakan

ring.

Misalkan terdapat S yang merupakan himpunan dari semua fÎF

sedemikian sehingga f(1) = 0.

Maka S adalah subring dari F. Karena memenuhi definisi subring.

Himpunan S tak kosong karena 0FÎS. Karena 0F(x) = 0 untuk setiap xÎR.

Demikian juga 0F(1) = 0 maka 0FÎS.

Dan jika f dan g elemen dalam S maka

(f+g)(1) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0

(fg) (1) = f(1)g(1) = 0.0 = 0

Berarti f+g dan fg dalam S. Akhirnya, jika f(1) = 0 maka

(-f)(1) = -f(1) = -0 = 0.

Hal tersebut berarti, negatif dari setiap elemen S juga berada dalam S.

Contoh lain :

Diberikan R dan S ring.

Jika R Å S = { (a,b) | a Î R, b Î S }, dan didefinisikan operasi

penjumlahan dan perkalian sebagai berikut :

( a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = ( a1 + a2 , b1 + b2 )

( a1 , b1 ) (a2 , b2 ) = ( a1 a2 , b1 b2 )

Maka T = { ( a , 0 ) | a Î R } adalah subring dari R Å S.

STRUKTUR ALJABAR II 15

Soal Latihan

1. Buktikan bahwa { a+b 3 2 + c 3 4 | a,b,c ÎZ } adalah subring dari R.

2. Center dari ring R didefinisikan sebagai

{ c ÎR | cr = rc untuk setiap r ÎR }.

Buktikan bahwa center dari suatu ring adalah subring.

Apakah center tersebut merupakan ring komutatif ?

3. Jika R dan S adalah ring, buktikan bahwa himpunan dari elemenelemen

dalam jumlahan langsung R Å S yang berbentuk (a,0) dengan

a ÎR dan 0 adalah elemen nol dari S adalah subring dari R Å S.

4. Jika diketahui bahwa S dan T masing-masing adalah subring dari

ring R.

Buktikan bahwa S Ç T adalah subring dari R.

5. Diberikan R ring dan a Î R.

Jika S = { x Î R | ax = 0 } , buktikan bahwa S adalah subring R.