Diberikan a, n \in \mathbb{Z} . Bilangan bulat a dikatakan membagi (devide) n jika terdapat b \in \mathbb{Z} sedemikian hingga n=ab .

Jika a membagi n, maka a disebut dengan pembagi (divisior) dari n, dan n disebut dengan kelipatan (multiple) dari a. Bilangan bulat a yang membagi n ditulis a|n .

Contoh: 5|30 dan 7|42

Sifat-sifat: Diberikan a, b, c \in \mathbb{Z} .

1. Jika a|b dan b|c, maka a|c .
2. Jika a|b , maka ac|bc , untuk setiap c \in \mathbb{Z} .
3. Jika c|a dan c|b , maka c | (da+eb) , untuk setiap d, e \in \mathbb{Z} .
4. Jika a|b dan b \neq 0 , maka |a| \leq |b| .
5. Jika a|b dan b|a , maka |a|=|b| .
Berikut ini adalah definisi pemetaan.

Misalkan A dan B adalah himpunan
Pengaitan f dari A ke B dikatakan suatu pemetaan jika setiap unsur dari A dikaitkan dengan tepat satu unsur di B.
----------------------------------------------------
Pemetaan sering juga disebut fungsi.

contoh:

Misalkan A = {a,b,c} dan B = {x,y,z,w}
Pengaitan f dimana
a dikaitkan dengan x ditulis f(a) = x
b dikaitkan dengan z ditulis f(b) = z
c dikaitkan dengan x ditulis f(c) = x

Pada contoh diatas tidak masalah x merupkan hasil dari pengaitan a dan b, yang tidak boleh adalah a dikaitkan ke dua unsur di b
------------------------------------------------




Ring(Gelanggang)
BAB I
RING (GELANGGANG)
1.1 Pengertian Ring
Di dalam Struktur Aljabar I telah dibahas struktur aljabar atau sistem aljabar yang terdiri dari satu himpunan dan satu operasi biner, seperti: monoid, semigrup, grupoid, grup dan grup abelian. Selanjutnya di dalam buku ini akan dibahas struktur aljabar yang terdiri dari satu himpunan dan dua operasi biner.
Definisi 1.1.1 Suatu himpunan tak kosong R dilengkapi dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) disebut ring atau gelanggang jika dipenuhi sifat-sifat berikut:
1). R tertutup terhadap penjumlahan: untuk setiap x, y R berlaku x + y R.
2). Penjumlahan di R assosiatif: untuk setiap x, y, z R berlaku
x + (y + z) = (x + y) + z.
3). R memiliki elemen netral 0 terhadap penjumlahan: untuk setiap x R berlaku x + 0 = 0 + x = x,
4). R memuat invers-invers terhadap penjumlahan: untuk setiap x di R, terdapat –x di R sedemikian sehingga x + (-x) = 0 = (-x) + x.
5). Penjumlahan di R komutatif: untuk setiap x, y R, berlaku x + y = y + x.
6). R tertutup terhadap perkalian: untuk setiap x, y R berlaku x.y R.
7). Perkalian di R assosiatif : untuk setiap x, y, z R berlaku
x . (y . z) = (x . y) . z.
8). Dua hukum distributif dipenuhi di R : untuk setiap x, y, z R berlaku
x . (y + z) = x . y + x . z dan (x + y) . z = x . z + y . z,
Selanjutnya, notasi x.y akan ditulis xy saja.
Pada pembahasan selanjutnya, jika suatu himpunan R dilengkapi operasi penjumlahan dan perkalian yang dinotasikan dengan + dan . akan ditulis dengan ring (R, +, .) atau ring R saja tanpa menuliskan kedua operasinya.
Berikut ini akan diberikan beberapa contoh ring
Contoh 1.1 Himpunan bilangan bulat, yang dinotasikan dengan Z adalah suatu ring dibawah operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan bulat yang berturut-turut dinotasikan dengan + dan ..
Bukti: Berdasarkan postulat-postulat pada bilangan bulat , yaitu :
1. Postulat-postulat penjumlahan.
Ada suatu operasi biner yang didefinisikan di Z yang disebut penjumlahan dan dinotasikan dengan +, yang memenuhi kondisi sebagai berikut :
a. Z tertutup terhadap penjumlahan.
b. Penjumlahan di Z assosiatif.
c. Z memuat satu elemen 0 yaitu elemen netral (nol) untuk penjumlahan.
d. Untuk setiap x Z, terdapat suatu invers penjumlahan dari x di Z, dinotasikan dengan –x, sedemikian sehingga x + (-x) = (-x) + x = 0.
e. Penjumlahan di Z bersifat komutatif.
2. Postulat-postulat perkalian.
Ada suatu operasi biner yang didefinisikan di Z yang disebut perkalian dan dinotasikan dengan ., yang memenuhi kondisi sebagai berikut :
a. Z tertutup dibawah perkalian.
b. Perkalian di Z bersifat assosiatif.
c. Z memuat suatu elemen 1 yang berbeda dengan elemen 0 yaitu elemen identitas untuk perkalian.
d. Perkalian di Z bersifat komutatif.
3. Hukum distributif, x . (y + z) = x . y + x . z dipenuhi untuk setiap x, y, z Z.
dan karena perkalian di Z bersifat komutatif, maka
(y + z) . x = x . (y + z)
= x . y + x . z, karena perkalian di Z bersifat komutatif, maka
= y . x + z . x, sehingga kedua hukum distibutif yang disyaratkan untuk menjadi ring dipenuhi. Akibatnya, semua kondisi yang disyaratkan untuk menjadi ring seperti pada Definisi 1.1.1 dipenuhi. Ini berarti (Z, +, .) adalah suatu ring.
Contoh 1.2 Diberikan R = {a, b, c} dilengkapi tabel penjumlahan dan perkalian sebagai berikut:
Tabel 1. Operasi Penjumlahan dan Perkalian pada R
+ a b c . a b c
a a b c a a a a
b b c a b a c b
c c a b c a a b
maka (R, +, .) bukanlah suatu ring karena perkalian pada R tidak bersifat assosiatif, karena terdapat b . (c . c) = b . b = c tetapi (b . c) . c = b . c = b.
Contoh 1.3 Jika Q menyatakan himpunan semua bilangan rasional, R menyatakan himpunan semua bilangan real dan C menyatakan himpunan semua bilangan kompleks, maka terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa pada himpunan-himpunan tersebut, (Q,+,.), (R,+,.) dan (C,+,.) masing-masing merupakan ring.
Contoh 1.4 Misalkan Z adalah himpunan semua bilangan bulat. Pada Z didefinisikan operasi penjumlahan biasa dan perkalian * yang didefinisikan dengan a*b = b, untuk setiap a, b di Z. Akan ditunjukkan bahwa (Z,+,*) bukan merupakan ring dengan menunjukkan bahwa pada Z tidak berlaku distributive kiri, yaitu (a + b)*c = c, tetapi a*c + b*c 0. a*c + b*c, untuk c = c + c = 2c. Jadi (a + b)*c
Contoh 1.5 Misalkan Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}. Pada Z5 didefinisikan operasi 5) sebagai berikut:penjumlahan modulo 5 (+5) dan perkalian modulo 5 (
Tabel 2. Operasi Penjumlahan dan Perkalian modulo 5 pada Z5
+5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4
2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3
3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2
4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1
Di Teori Grup telah diketahui bahwa (Z5, +5) merupakan grup. Selanjutnya dalam tabel di atas dapat dilihat bahwa perkalian modulo 5 dan dua unsur di dalam Z5 tetap merupakan unsur dalam Z5 lagi. Ini berarti Z5 tertutup terhadap operasi perkalian modulo 5. Sifat assosiatif terhadap perkalian modulo 5 dapat diselidiki satu per satu, demikian juga sifat distributif kiri dan distributif kanannya. Hal ini mungkin dilakukan karena banyaknya elemen dari Z5 berhingga. Dengan 5) merupakan ring dengandemikian dapat disimpulkan bahwa (Z5, +5, banyaknya elemen berhingga.
Contoh 1.6 Misalkan R adalah himpunan bilangan real dan S himpunan fungsi –fungsi bernilai real yang didefinisikan pada R, berarti S = {f R | f fungsi}. Pada S didefinisikan penjumlahan dan perkalian: R R, S dan x fungsi biasa, yaitu: untuk setiap f, g
(f + g)(x) = f(x) + g(x) dan (fg)(x) = f(x)g(x).
Menggunakan definisi penjumlahan dan perkalian fungsi di atas, maka dapat dibuktikan dengan mudah bahwa penjumlahan dan perkalian fungsi di atas merupakan operasi biner pada S. Dengan kata lain, pada S berlaku sifat tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian. Selanjutnya diselidiki sifat-sifat ring yang lain, sebagai berikut:
a). Sifat assosiatif terhadap penjumlahan.
Untuk sebarang R, berlaku S dan x f, g, h
{(f + g) + h}(x) = (f + g)(x) + h(x) , definisi penjumlahan fungsi
= {f(x) + g(x)} + h(x) , definisi penjumlahan fungsi
= f(x) + {g(x) + h(x)} , sifat assosiatif pada R
= f(x) + {(g + h)(x)} , definisi penjumlahan fungsi
={f + (g + h)}(x). , definisi penjumlahan fungsi
Ini berarti (f + g) + h = f + (g + h), untuk setiap f, g, h di S.
b). Terdapat elemen netral (nol) terhadap penjumlahan.
(x) = 0 yang didefinisikan dengan Di dalam S terdapat fungsi nol untuk setiap x di R, sedemikian hingga untuk sebarang fungsi f di S dan x di R berlaku:
+ f)(x)( (x) + f(x)= , definisi penjumlahan fungsi
= 0 + f(x) , definisi fungsi nol
= f(x)
dan
)(x)(f + (x)= f(x) + , definisi penjumlahan fungsi
= f(x) + 0 , definisi fungsi nol
= f(x).
Ini berarti ), + f) = f = (f + ( disebut elemen netral (nol) di S.untuk setiap f di S. Fungsi nol
c). Terdapat elemen invers terhadap penjumlahan.
Untuk setiap fungsi f di S terdapat fungsi –f di S yang didefinisikan dengan (-f)(x) = -f(x), untuk setiap x di R, sedemikian hingga berlaku:
((-f) + f)(x) = (-f)(x) + f(x) , definisi penjumlahan fungsi
= -f(x) + f(x) , definisi fungsi (-f)
= 0 , definisi elemen nol di R
(x)= , definisi operator nol
dan
(f + (-f))(x) = f(x) + (-f)(x) , definisi penjumlahan fungsi
= f(x) – f(x) , definisi fungsi (-f)
= 0 , definisi elemen nol di R
(x)= , definisi operator nol.
= (f + (-f)), untuk setiap f di S. FungsiIni berarti ((-f) + f) = (-f) disebut elemen invers terhadap penjumlahan di S dari f.
d). Sifat Komutatif terhadap penjumlahan.
Untuk sebarang R, berlaku S dan x f, g
(f + g) (x) = f(x) + g(x) , definisi penjumlahan fungsi
= g(x) + f(x) , sifat komutatif thd + di R
= (g + f)(x) , definisi penjumlahan fungsi
Ini berarti (f + g) = (g + f), untuk setiap f, g di S.
e). Sifat assosiatif terhadap perkalian.
Untuk sebarang R, berlaku S dan x f, g, h
{(fg)h}(x) = (fg)(x) h(x) , definisi perkalian fungsi
= {f(x) g(x)} h(x) , definisi perkalian fungsi
= f(x) {g(x) h(x)} , sifat assosiatif pada R
= f(x) {(gh)(x)} , definisi perkalian fungsi
={f(gh)}(x). , definisi perkalian fungsi
Ini berarti (fg)h = f(gh), untuk setiap f, g, h di S.
f). Sifat distributif kanan dipenuhi.
Untuk sebarang R, berlaku S dan x f, g, h
{(f + g)h}(x) = (f + g)(x) h(x) , definisi perkalian fungsi
= {f(x) + g(x)} h(x) , definisi penjumlahan fungsi
= f(x)h(x) + g(x) h(x) , sifat distributif kanan pada R
= (fh)(x) + (gh)(x) , definisi perkalian fungsi
={fh + gh}(x) , definisi penjumlahan fungsi
Ini berarti (f + g)h = (fh + gh), untuk setiap f, g, h di S.
Dengan cara yang serupan dapat ditunjukkan bahwa f(g + h) = fg + fh, untuk setiap f, g, h di S.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa (S, +, .) merupakan ring.
Berikut ini diberikan definisi mengenai ring dengan elemen satuan dan ring komutatif.
Definisi 1.1.2 Misal R adalah suatu ring. Jika terdapat suatu elemen e di R sedemikian sehingga x . e = e . x = x, untuk setiap x di R, maka e disebut elemen satuan dan R dinamakan ring dengan elemen satuan. Jika perkalian di R bersifat komutatif, maka R disebut ring komutatif.
Contoh 1.7 Pada Contoh 1.1 telah dibuktikan bahwa (Z, +, .) adalah suatu ring. Berdasarkan pada postulat yang dikemukakan pada Contoh 1.1, maka Z adalah suatu ring komutatif dan juga ring dengan elemen satuan yaitu 1, karena x . 1 = 1 . x = x, untuk setiap x di Z.
Contoh 1.8 Jika E merupakan himpunan bilangan bulat genap, maka E terhadap operasi + dan . seperti pada Z juga merupakan ring. Ring E adalah ring komutatif tetapi bukanlah suatu ring dengan elemen satuan.
Contoh 1.9 Misalkan R adalah himpunan matriks berukuran 2 x 2 dengan entri-entri bilangan bulat
R = a, b, c,d Z
maka R merupakan ring terhadap operasi pernjumlahan dan perkalian matrik. Ring R adalah ring dengan elemen satuan I = , karena AI = IA = A, untuk setiap A R, tetapi R bukanlah suatu ring komutatif karena berdasarkan sifat perkalian pada matrik, AB ≠ BA.
Latihan 1.1
Z} terhadap2 | a,b 2) = {a + b1. Tunjukkan bahwa himpunan Z( penjumlahan dan perkalian bilangan biasa merupakan ring komutatif dengan elemen satuan.
2. Misalkan C = {(a,b) | a,b R}. Pada C didefinisikan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (•) sebagai berikut:
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) dan (a,b) • (c,d) = (ac – bd, ad + bc)
Tunjukkan bahwa (C,+, •) merupakan ring komutatif dengan elemen satuan.
3. Selidiki apakah H = {0, 2, 4, 6, 8} terhadap penjumlahan modulo 10 dan perkalian modulo 10 merupakan ring dengan elemen satuan!
4. Misalkan Zn = {0,1,2,3,…, n-1}. Pada Zn didefinisikan operasi penjumlahan modulo n (+n) dan perkalian modulo n (•n). Tunjukkan bahwa (Zn,+n, •n) merupakan ring komutatif dengan elemen satuan.
5. Misalkan Q himpunan semua bilangan rasional dan
M2(Q) = .
a). Tunjukkan bahwa M2(Q) terhadap penjumlahan dan perkalian matriks merupakan ring?
b). Apakan M2(Q) merupakan ring komutatif?
c). Apakah M2(Q) memuat elemen satuan?
R | f fungsi kontinu bernilai real}6. Tunjukkan bahwa H = {f : R terhadap operasi penjumlahan dan perkalian fungsi merupakan ring komutatif dengan elemen satuan!
7. Misalkan G = {a + bi | a,b bilangan-bilangan bulat dan i2 = -1}. Selanjutnya G disebut himpunan bilangan Gauss. Tunjukkan bahwa G terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan kompleks merupakan ring komutatif dengan elemen satuan.
8. Diketahui R adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan
R}.R2 = {(a,b) | a,b
Pada R2 didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian sebagai berikut:
(a,b) + (c,d) = (a+b, c+d)
dan
(a,b) *(c,d) = (ac, bd).
Tunjukkan bahwa (R2,+,*) merupakan ring komutatif dengan elemen satuan!
9. Misalkan (R,+,*) merupakan ring dengan elemen satuan 1. Pada R didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian lain sebagai berikut:
b = a + b + aa dan b = a*b + a + b.a
) juga merupakan ring dengan elemen satuan!,Tunjukkan bahwa (R,
10. Misalkan R adalah himpunan semua simbol
22e22 =21e21 + 12e12 + 11e11 + 
ij adalah bilangan rasional. Pada R didefinisikandengan semua
(i) = jika dan hanya jika ij untuk semua i,j = 1, 2.ij = 
(ii) + =
(ii) . = dengan .
Tunjukkan bahwa (R,+,.) merupakan ring dengan elemen satuan.
1.2 Sifat-sifat Ring
Teorema berikut menyajikan sifat-sifat dasar dari ring.
Teorema 1.2.1 Misalkan R adalah ring dengan elemen satuan. Untuk sebarang a, b, c di R, pernyataan-pernyataan berikut benar:
1). a0 = 0a = 0, dengan 0 adalah elemen netral di R.
2). a(-b) = (-a)b = -(ab)
3). (-a)(-b) = ab
4). –(a + b) = (-a) + (-b)
5). a(b-c) = ab – ac
6). (b-c)a = ba – ca
7). (-1)a = -a, dengan 1 elemen satuan di R.
Bukti:
1). Jika R makaa
a0 = a(0 + 0) sifat elemen netral 0 = 0 + 0.
= a0 + a0 sifat distributif kanan
Akibatnya karena R merupakan grup terhadap penjumlahan, maka apabila kedua ruas ditambah dengan –(a0) diperoleh
-(a0) + a0 = -(a0) + (a0 + a0)
0 = [-(a0) + a0] + a0
0 = 0 + a0
0 = a0.
Dengan cara serupa dapat ditunjukkan bahwa 0a = 0.
2). Untuk menunjukkan a(-b) = -(ab), harus diperlihatkan bahwa ab + a(-b) = 0.
Perhatikan bahwa
ab + a(-b) = a [b + (-b)] sifat distributif
= a.0 sifat elemen invers terhadap penjumlahan
= 0 hasil dari 1).
Ini berarti a(-b) = -(ab).
Dengan cara serupa dapat ditunjukkan bahwa (-a)b = -(ab).
3). Dengan menggunakan hasil 2) diperoleh
(-a)(-b) = -[a(-b)] hasil dari 2).
= -[-(ab)] hasil dari 2).
= ab karena -(-x) = x .
4). sampai dengan 7). Diserahkan kepada pembaca sebagai laihan.
Definisi mengenai elemen satuan pada ring, memungkinkan terdapat lebih dari satu elemen satuan pada ring R. Akan tetapi teorema di bawah ini akan menjamin bahwa kemungkinan tersebut tidak mungkin terjadi.
Teorema 1.2.2 Jika R adalah suatu ring dengan elemen satuan, maka elemen satuan tersebut tunggal.
Bukti: Misalkan e1 dan e2 adalah elemen satuan di R. Perhatikan bahwa e1 . e2 = e1, karena e2 adalah elemen satuan. Padahal e1 . e2 = e2, karena e1 juga elemen satuan. Akibatnya
e1 = e1 . e2 = e2
Telah ditunjukkan bahwa elemen satuan di R adalah tunggal.
Pada ring dengan elemen satuan, perlu dipertimbangkan adanya invers terhadap perkalian. Berikut ini diberikan definisi mengenai invers terhadap perkalian.
Definisi 1.2.3 Misal R adalah suatu ring dengan elemen satuan e dan misalkan a R. Jika terdapat suatu elemen x di R sedemikian hingga ax = xa = e, maka x disebut invers perkalian dari a.
Seperti halnya pada elemen satuan, invers perkalian juga tunggal.
Teorema 1.2.4 Misalkan R adalah suatu ring dengan elemen satuan e. Jika elemen a R memiliki invers perkalian, maka invers perkalian dari a adalah tunggal.
Bukti: Misalkan x dan y adalah invers perkalian dari a. Diperhatikan ax = xa = e, karena x adalah invers perkalian dari a dan ay = ya = e, karena y juga invers perkalian dari a.
Akibatnya x = ex, karena e adalah elemen identitas
= (ya)x, karena ya = e
= y(ax), dengan sifat assosiatif
= ye, karena ax = e
= y, karena e adalah elemen identitas.
Telah ditunjukkan invers perkalian dari a adalah tunggal.
Pada pembahasan selanjutnya invers perkalian dari a akan dinotasikan dengan a-1.
Definisi 1.2.5 Misalkan F adalah suatu ring. Ring F disebut lapangan (field) jika syarat-syarat berikut ini dipenuhi:
1. F adalah ring komutatif.
2. F memiliki elemen satuan e dan e ≠ 0.
3. Setiap elemen tak nol di F memiliki invers perkalian.
Contoh 1.10 Misal (R, +, .) adalah ring himpunan bilangan riil. Ring (R,+,.) adalah suatu lapangan. Untuk membuktikan ini berturut-turut ditunjukkan:
(i) R adalah ring komutatif.
Berdasarkan sifat perkalian pada R, maka a . b = b . a, untuk setiap a, b R. Ini berarti R adalah ring komutatif.
(ii) R memiliki elemen satuan e dan e ≠ 0.
Elemen satuan R adalah 1 ≠ 0, karena a . 1 = 1 . a = a, untuk setiap a R.
Telah ditunjukkan R memiliki elemen satuan 1 dan 1 ≠ 0.
(iii) Setiap elemen tak nol di R memiliki invers perkalian.
Diambil sebarang a R, dengan a ≠ 0, maka terdapat b = R sedemikian sehingga a . b = a . = b . a = 1. Ini berarti setiap a ≠ 0 R memiliki invers perkalian yaitu .
Jadi R adalah suatu lapangan.
Contoh 1.11 Pada Contoh 1.1 telah dibuktikan bahwa (Z, +, .) adalah suatu ring, tetapi ring (Z, +, .) bukanlah suatu lapangan karena syarat (3) pada Definisi 1.2.5 tidak dipenuhi, karena terdapat 0 ≠ 2 Z, tetapi jika diambil sebarang b Z tidak ada yang memenuhi persamaan 2 . b = b . 2 = 1.
Sebelum dibahas mengenai salah satu kelas khusus ring, yaitu integral domain, berikut ini akan diberikan terlebih dahulu definisi pembagi nol.
Definisi 1.2.6 Jika R adalah suatu ring komutatif, maka 0 ≠ a R disebut sebagai pembagi nol jika terdapat 0 ≠ b R sedemikian sehingga ab = 0.
Definisi 1.2.7 Suatu ring komutatif R disebut daerah integral (integral domain) jika R tidak memiliki pembagi nol.
Contoh 1.12 Misal (Z, +, .) adalah suatu ring, maka Z adalah suatu daerah integral.
Bukti : Jelas bahwa (Z, +, .) merupakan ring komutatif. Untuk membuktikan bahwa Z tidak memuat pembagi nol, diambil sebarang a ≠ 0 Z. Kemudian untuk persamaan ab = 0, dengan a ≠ 0 maka haruslah b = 0. Ini berarti tidak ada b ≠ 0 Z yang memenuhi persamaan ab = 0. Telah ditunjukkan (Z, +, .) adalah suatu daerah integral.
Latihan 1.2
1. Lengkapilah bukti Teorema 1.2.1.
R, maka buktikan bahwa2. Jika R merupakan ring dan a, b
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2.
3. Nyatakan bentuk umum Teorema Binomial di dalam sebarang ring, dengan kata lain tentukan ekspresi untuk (a + b)n, dengan n bilangan bulat positif.
4. Ring R disebut ring boolean jika untuk setiap elemen a di R berlaku a2 = a. Tunjukkan bahwa jika R ring boolean maka R ring komutatif!
5. Tunjukkan bahwa ring komutatif D adalah daerah integral jika dan 0, relasi ab = ac mengakibatkan D dengan a hanya jika untuk a, b, c b = c!
6. Buktikan bahwa sebarang lapangan (field) adalah daerah integral!
7. Buktikan bahwa Zp dengan p bilangan prima terhadap operasi penjumlahan modulo p dan operasi perkalian modulo p merupakan daerah integral.
8. Buktikan bahwa sebarang daerah integral dengan banyak anggota hingga merupakan lapangan!
9. Berikan contoh daerah integral yang bukan lapangan!