1
BAB I
PEMETAAN , OPERASI DAN RELASI EKUIVALENSI
Definisi.
Diberikan V himpunan sebarang objek-objek dengan dua operasi yang
didefinisikan sebagai penjumlahan dan perkalian oleh scalar (bilangan riil).
Penjumlahan adalah aturan yang menghubungkan tiap pasangan u,v Î V
dengan elemen u+v, disebut jumlah u dan v, sedangkan perkalian skalar
adalah aturan untuk menghubungkan tiap skalar k dan uÎV dengan elemen
k u.
Jika aksioma berikut dipenuhi oleh u, v, w Î V dan semua skalar-skalar k
dan l, maka V disebut ruang vektor dan objek-objek dalam V disebut vektor.
1. u+v Î V
2. u + v = v + u
3. u + (v + w) = (u + v ) + w
4. terdapat 0 Î V, sehingga untuk setiap uÎ V, berlaku 0 + u = u + 0 = u
5. untuk setiap uÎ V, terdapat -uÎ V, sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0
6. untuk setiap uÎ V, dan skalar k, maka k u Î V
7. k(u+v) = ku = kv
8. (k+l) u = ku + lu
9. k(lu) = (kl)u
10. 1u = u
Beberapa sifat ruang vektor adalah :
1. 0u = 0
2. k0 = 0
3. (-1)u = -u
4. jika k u = 0 , maka k = 0 atau u = 0
untuk setiap u Î V dan k skalar.
Definisi.
Himpunan bagian W dari ruang vektor V disebut ruang bagian dari V jika W
merupakan ruang vektor di dalam penjumlahan dan perkalian scalar yang
didefinisikan pada V.
2
Teorema penting tentang ruang vektor bagian :
Jika W adalah himpunan satu atau lebih vektor-vektor dari ruang vektor V, maka
W ruang bagian dari V bila syarat berikut dipenuhi :
1. jika u dan v dalam W, maka u+v dalam W
2. jika k skalar dan u vektor dalam W, maka k u dalam W.
Definisi.
Jika f : V ® W fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W, maka f disebut
pemetaan linier jika memenuhi :
1. f ( u + v ) = f (u) + f(v), untuk setiap u, v Î V
2. f (ku) = k f(u) , untuk setiap u Î V, k skalar
Salah satu struktur yang berkaitan dengan ruang vektor adalah Kernel dan
Range.
Sebelum diberikan pengertian
sebagai dasar pembentukan kernel dan range.
Teorema
Jika T : V ® W adalah pemetaan linier, maka
1. T(0) = 0
2. T(-v) = - T(v) untuk setiap v Î V
3. T(v-w) = T (v) – T(w) untuk setiap v,w Î V
Definisi.
Jika T : V ® W adalah pemetaan linier, maka
{ x Î V | T(x) = 0 } = Kernel T.
Range dari T yaitu R(T) = { y Î W | T(x) = y, x Î V}.
Soal latihan :
1. Jika V adalah himpunan semua matriks berordo 2x2, buktikan V adalah
ruang vektor.
2. Diberikan f : R2 ® R3 dengan definisi jika v = (x,y) Î R2 maka
f(v) = ( x, x+y, x-y ).
Buktikan f merupakan pemetaan linier.
3. Diberikan f : R2 ®R2 dengan definisi f(x,y) = ( x, y+1).
Buktikan apakah f pemetaan linier.
STRUKTUR ALJABAR II 1
BAB II
RING DAN TEOREMA-TEOREMA DASAR PADA RING
A. Ring dan Teorema Sederhana dari Ring
Dalam teori grup telah dipelajari tentang suatu himpunan dengan satu
operasi.Sebagai kelanjutan dari grup akan dipelajari suatu himpunan
dengan dua operasi dan bentuk tersebut dinamakan ring.
Definisi a.1.
Suatu ring adalah suatu himpunan R tak kosong beserta dua operasi
pada R, yang disebut penjumlahan (a+b) dan pergandaan (a.b),
sedemikian sehingga setiap aksioma berikut dipenuhi :
R dengan penjumlahan merupakan grup Abelian memenuhi
1. " a,b Î R, $ c Î R sedemikian sehingga a+b = c.
2. " a,b,c Î R, (a+b)+c = a +(b+c)
3. " a Î R, $ 0 Î R , a+0 = 0+a = a
4. " aÎ R, $ -a Î R , a+(-a) = (-a)+a = 0
5. " a,b Î R, a+b = b+a
R dengan pergandaan memenuhi :
1. " a,b Î R, $ c Î R sedemikian sehingga a.b = c.
2. " a,b,c Î R, (a.b).c = a.(b.c)
R dengan komposisi kedua operasi memenuhi :
" a,b,c Î R, a.(b+c) = a.b+a.c dan (a+b).c = a.c+b.c
Contoh :
1. Himpunan bilangan bulat membentuk ring dengan operasi
penjumlahan dan pergandaan. Demikian juga pada himpunan
bilangan rasional, bilangan real dan bilangan bulat genap.
STRUKTUR ALJABAR II 2
2. Untuk suatu bilangan bulat positif n, Zn bilangan bulat modulo n,
membentuk sebuah ring dengan operasi Å dan Ä yang
didefinisikan sebagai berikut : untuk [a],[b]Î Zn , [a] Å [b] = [a+b]
dan [a] Ä [b]= [ab]. Dapat ditunjukkan bahwa Zn dengan Å
merupakan grup Abelian dan Zn dengan Ä memenuhi sifat
asosiatif.
3. Diberikan S adalah himpunan semua bilangan real berbentuk
x+yÖ2 , dengan x,yÎZ, dengan operasi penjumlahan dan perkalian.
Dapat dibuktikan bahwa S tertutup terhadap kedua operasi
tersebut. S adalah ring komutatif dengan elemen satuan.
4. Diberikan K = {a,b,c,d} dengan penjumlahan dan pergandaan yang
didefinisikan oleh tabel berikut
(+) a b c d
A a b c d
B b a d c
C c d a b
D d c b a
(.) a b c d
A a a a a
B a b c d
C a a a a
D a b c d
Ring K bukan ring komutatif. Dari operasi pergandaan terlihat,
sebagai contoh, cd = a dan dc = c.
STRUKTUR ALJABAR II 3
5. Diberikan L, himpunan ZxZxZ, L adalah himpunan (a,b,c) dengan
a,b,c Î Z dan didefinisikan
(a,b,c) + (d,e,f) = (a+d, b+e, c+f)
(a,b,c)(d,e,f) = (ad,bd+ce,cf)
Dapat ditunjukkan bahwa L bukan ring Komutatif.
Karena suatu ring merupakan grup terhadap, sifat-sifat dasar dari ring
yang berkaitan dengan penjumlahan termuat dalam sifat-sifat dasar grup
terhadap penjumlahan.
Sebagai contoh, hukum kanselasi dan hukum (a-1)-1 = a karena –(-a)=a.
Teorema berikut memberikan ringkasan dari sifat tersebut.
Sesuai kesepakatan dalam grup : jika n adalah bilangan bulat positif,
maka
na = a+a+…+a (n suku) dan (-n)a = -(na)
Teorema a.1.
Diberikan R ring.
Elemen nol dari R adalah tunggal.
Bukti :
Misal x,y Î R sedemikian sehingga untuk setiap aÎR berlaku
a+x = a dan a+y=a.
Jika diambil xÎR dengan y elemen nol maka x+y=x.
Jika diambil yÎR dengan x elemen nol maka y+x=y.
Karena x+y = y+x maka x=y. g
Teorema a.2.
Setiap elemen dari R mempunyai negatif tunggal.
(Invers penjumlahan dari setiap elemen dalam ring R adalah tunggal).
Bukti :
Misalkan a+x = 0 dan a+y = 0
Maka a+x = a+y dengan kanselasi diperoleh x=y. g
STRUKTUR ALJABAR II 4
Teorema a.3. Hukum Kanselasi penjumlahan
Jika a,b,c Î R maka berlaku
i). Jika a+c = b+c maka a=b
ii). Jika c+a = c+b maka a=b
Bukti :
Akan dibuktikan untuk (i).
Diberikan a+c = b+c
Menurut definisi grup, untuk cÎR, ada tÎR sedemikian
sehingga c+t = 0.
Maka untuk a+c = b+c diperoleh (a+c)+t = (b+c)+t
Tetapi (a+c)+t = a+(c+t) = a + 0 = a.
Akibatnya, (b+c)+t = b+(c+t) = b+0 = b
Maka a=b. g
Teorema a.4.
Jika a dan b adalah elemen dari suatu ring R, persamaan a+x=b
mempunyai penyelesaian tunggal x = b-a dalam R.
Bukti :
a+x = a +(b-a)= a+((-a)+b) = (a+(-a))+b = 0+b = b
Ketunggalan dari penyelesaian tersebut ditunjukkan dengan hukum
kanselasi berikut.
Jika a+x = b dan a+y= b maka a+x = a+y.
Mengakibatkan x=y. g
Karena setiap elemen aÎR mempunyai tepat satu invers penjumlahan,
maka dapat disingkat b+(-a) dengan b-a.
Karena a+(-a) = 0, dapat dilihat bahwa a adalah invers penjumlahan
dari –a, yaitu –(-a) = a. Maka dapat diuraikan teorema berikut :
Teorema a.5.
Untuk a,b,c elemen-elemen ring R berlaku
i). –(-a) = a
STRUKTUR ALJABAR II 5
ii). –(a+b) = -a–b
iii). –(a-b) = -a+b
iv). (a-b)-c = a-(b+c)
Teorema a.6.
Suatu ring mempunyai tepat satu elemen satuan.
Bukti :
Misal e,e’Î R sedemikian sehingga untuk setiap aÎR, berlaku
ea = ae = a ……..(1)
dan juga e’a = ae’ = a ………(2)
Dengan cara yang sama, dari persamaan (1) berlaku juga untuk
a=e’ sehingga dipunyai ee’ = e’e = e’ ……..(3)
Dan untuk a=e dari persamaan (2) diperoleh
e’e = ee’ = e ………(4)
Dari persamaan (3) dan (4) menyebabkan e=e’, sehingga hanya
ada satu elemen satuan. g
Definisi a.2.
Diberikan a elemen dari ring R dengan elemen satuan e.
Jika ada elemen s dari R sedemikian sehingga as = sa = e, maka s
disebut invers perkalian dari a.
Terdapat perbedaan antara invers penjumlahan dan invers perkalian pada
ring. Dalam ring dari himpunan bilangan real, setiap elemen taknol
mempunyai invers perkalian. Dalam ring bilangan bulat, ada tepat dua
elemen yang mempunyai invers perkalian, yaitu 1 dan –1.
Teorema a.7.
Jika a elemen ring R dengan elemen satuan e mempunyai invers
perkalian, maka invers perkalian tersebut tunggal.
STRUKTUR ALJABAR II 6
Bukti :
Misalkan bahwa s dan t adalah invers perkalian dari elemen a.
Maka,dari definisi sa = e dan hukum asosiatif dari perkalian, maka
s(at) = (sa)t = et = t.
Karena at = e, maka s(at) = se = s.
Jadi s = t. g
Bila a mempunyai invers perkalian, maka menandakan invers
perkaliannya dengan a-1.
Teorema a.8.
Untuk setiap elemen a dari suatu ring R, dipunyai
a.0 = 0.a = 0
Bukti :
Karena a+0 = a, maka a(a+0) = a.a
Dari hukum distributif didapat a(a+0) = a.a + a.0
Sehingga a.a + a.0 = a.a. Dengan kanselasi maka a.0 = 0. g
Bila R adalah ring komutatif, maka dapat dibuktikan juga bahwa a.0 = 0.
Jika R tidak komutatif,bukti bahwa 0.a = 0 dapat dengan mudah
menggunakan bentuk lain dari hukum distributif.
Teorema a.9.
Diberikan R ring, 0 elemen nol dari R dan a,b,c ÎR.
i). a(-b)= (-a)b = -(ab)
ii). (-a)(-b) = ab
iii). a(b-c) = ab – ac dan (a-b)c = ac – bc
Bukti :
i). Diberikan a(b+(-b)) = a.0 = 0……(1)
Dengan hukum distributif, diperoleh
a(b+(-b)) = ab + a(-b) ……..(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh ab + a(-b) = 0.
STRUKTUR ALJABAR II 7
Karena ab mempunyai invers penjumlahan tunggal yaitu –(ab)
maka
a(-b) = -(ab).
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan (-a)b = -(ab).
ii). Dengan menggunakan teorema 9.i) di atas maka
(-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab))
Karena ab adalah invers penjumlahan dari –(ab) maka
–(-(ab)) = ab.
iii). Perhatikan bahwa b-c adalah notasi untuk b+(-c).
Dan menggunakan teorema 9.i) dan hukum distributif maka
diperoleh
a(b-c) = a(b+(-c)) = ab+a(-c) = ab + -(ac) = ab-ac
Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan untuk
(a-b)c = ac – bc. g
Suatu elemen e dalam ring R disebut elemen satuan (identitas terhadap
operasi perkalian) dari ring jika ea = ae = a untuk setiap aÎR.
Dalam keadaan tersebut elemen satuan adalah elemen identitas untuk
perkalian. Bilangan 1 adalah elemen satuan untuk ring dari bilangan bulat.
Ring dari himpunan bilangan bulat ganjil tidak mempunyai elemen satuan.
Suatu ring R disebut komutatif jika ab = ba untuk setiap a,b ÎR.
Jika ab ¹ ba untuk suatu a,b Î R, maka R tidak komutatif.
Definisi a.3.
Jika R dan S adalah ring, suatu ring dengan elemen-elemennya adalah
elemen dari himpunan hasilkali RxS, dengan operasi penjumlahan dan
perkalian yang didefinisikan sebagai berikut :
(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+ r2, s1+s2)
(r1, s1).(r2, s2)= (r1r2, s1s2)
untuk r1,r2 ÎR , s1,s2 ÎS
maka RxS disebut jumlahan langsung dari ring R dan S.
STRUKTUR ALJABAR II 8
Contoh :
Diberikan R dan S adalah ring dan RxS hasilkali Cartesius dari R dan S,
yaitu himpunan dari semua pasangan terurut (r,s) dengan rÎR, sÎS. Maka
RxS menjadi suatu ring dengan operasi berikut
(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+ r2, s1+s2)
dan (r1, s1).(r2, s2)= (r1r2, s1s2)
untuk setiap r1,r2 ÎR , s1,s2 ÎS.
Dalam contoh di atas ring RxS tidak komutatif.
Ring RxS akan komutatif bila hanya bila R dan S keduanya komutatif.
Soal Latihan
1. Buktikan bahwa suatu elemen (a,b,c) dari ring L dalam contoh 5,
mempunyai invers perkalian bila dan hanya bila a = ±1 dan c = ±1.
2. Diberikan ring dengan 4 anggota a,b,c,d.
Operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan sebagai berikut :
(+) a b c d
a a b c d
b b a d c
c c d a b
d d c b a
(.) a b c d
a a a a a
b a b c d
c a a a a
d a b c d
STRUKTUR ALJABAR II 9
Buktikan bahwa setiap elemen taknol dari ring tersebut
mempunyai invers perkalian.
3. Diberikan R ring dengan elemen satuan.
Jika a dan b adalah elemen dari R yang mempunyai invers
perkalian, tunjukkan bahwa ab mempunyai invers perkalian dengan
membuktikan bahwa (ab)-1 = b-1a-1.
4. Buktikan bahwa a2 – b2 = (a+b)(a-b) untuk setiap a,b elemen ring R
bila dan hanya bila R ring komutatif.
5. Buktikan bahwa (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 untuk setiap a,b dalam ring
R bila dan hanya bila R komutatif.
B. Sifat-sifat Bersahaja dari Ring
Definisi b.1.
Misalkan R mempunyai elemen satuan e maka dengan a0 dimaksud e.
Jika m bilangan bulat positif maka am dimaksud a.a…a dengan m faktor.
Jika aÎR mempunyai invers maka dengan a-m dimaksud (a-1)m.
Teorema b.1.
Diberikan suatu ring R dengan elemen satuan e dan untuk setiap aÎR
mempunyai invers. Maka berlaku
i). a-m = (am)-1 untuk setiap bilangan bulat m.
ii). am . an = am+n untuk setiap bilangan bulat m dan n.
iii). (am)n = amn untuk setiap bilangan bulat m dan n.
Bukti :
Akan dibuktikan untuk yang kedua.
Untuk m>0, n<0>
STRUKTUR ALJABAR II 10
Apabila n<0 n="-p">
Sehingga am. an = am. a-p
= am. (a-1)p
= a.a……a.a-1.a-1 …. a-1
= am-p = am+n
g
Definisi b.2.
Misalkan R suatu ring , aÎR dan m bilangan bulat positif.
Maka ma didefinisikan sebagai a+a+…+a dengan m suku.
Perhatikan bahwa ma tidak didefinisikan sebagai pergandaan dari m
dengan a, sebab m adalah bilangan bulat positif (belum tentu mÎR) dan
aÎR, yang belum tentu suatu bilangan.
Pergandaan bilangan bulat positif m dengan aÎR tidak didefinisikan.
m di atas adalah lambang untuk menjumlahkan a dengan dirinya sendiri
sebanyak m suku.
Definisi b.3.
Dengan (-m)a dimaksud invers dari ma terhadap jumlahan yaitu –(ma).
Perhatikan bahwa
(-m)a = -(ma) = -( a+a+...+a) = (-a)+(-a) +...+(-a) = m(-a).
Sehingga didapat (-m)a = -(ma) = m(-a).
Definisi b.4.
Dengan 0a, di mana 0 bilangan bulat, adalah elemen netral (elemen nol)
dari ring R.
Jadi 0a = 0.
Perhatikan bahwa dalam rumus 0a = 0, 0 di ruas kiri adalah bilangan bulat
sedangkan 0 pada ruas kanan adalah elemen netral dari R terhadap
penjumlahan.
Teorema b.2.
STRUKTUR ALJABAR II 11
Untuk setiap a,b ÎR dan m,n bilangan bulat berlaku
i). ma + na = (m+n)a
ii). m(na) = (mn)a
iii). m(a+b) = ma + mb
iv). m(ab) = (ma)b = a(mb)
v). (ma)(nb) = (mn)(ab)
Bukti :
Akan dibuktikan untuk m>0, n>0 .
Karena ma = a + a + …. + a sebanyak m suku dan
na = a + a + …. + a sebanyak n suku , maka
ma + na = a + a + …. + a sebanyak m+n suku.
Dan dapat ditulis sebagai ma + na = (m+n)a.
Akan dibuktikan untuk m>0, n<0>
Apabila n<0 n =" -p">
m(na) = m((-p)a) = m(-(pa))
= -(pa) + (-(pa)) + ...+(-(pa))
= -(a+a+...) + .... + -(a+a+....+a)
= (mp)(-a)
= (-(mp))a = (m(-p))a = (mn)a
Bukti untuk bagian iii) dengan m>0, n>0 sebagai berikut.
m(a+b) = (a+b) + (a+b) + ….. + (a+b), sebanyak m suku.
= ( a + a + … + a ) + ( b + b + …. + b )
= ma + mb
Adapun bukti untuk (v) adalah
(ma)(nb) = (a+a+....+a)(b+b+.....+b)
= (a+a+....+a)b + (a+a+....+a)b + ......+ (a+a+...+a)b
= (ab + ab + ...+ ab) + ....+ (ab + ab+...+ab)
Dalam setiap kelompok terdapat m suku, sedangkan ada n
kelompok maka hasilnya adalah (mn)(ab). g
STRUKTUR ALJABAR II 12
(ma)(nb) = (mn)(ab) bukan hukum komutatif dari pergandaan mn
dengan ab. Sebab ma tidak berarti pergandaan dari m dengan a.
Soal Latihan
1. Buktikan bahwa jika R ring, maka sifat-sifat berikut berlaku untuk
"a,b,c ÎR, yaitu
i). –(a+b) = (-a) + (-b)
ii). (a-b) + (b-c) = a-c
iii). (a-b)c = ac - bc
2. Buktikan bahwa jika R adalah ring a,b ÎR dan ab = ba, maka
a(-b) = (-b)a dan (-a)(-b) = (-b)(-a)
3. Suatu ring R disebut ring Boolean jika a2 = a untuk setiap aÎR.
Jika R adalah ring Boolean dan aÎR, buktikan 2a = 0.
Kemudian buktikan bahwa R komutatif. (Gunakan (a+b)2 ).
4. Diberikan A menyatakan himpunan bilangan bulat genap.
Buktikan bahwa dengan operasi penjumlahan biasa dan perkalian
yang didefinisikan sebagai m*n = (1/2) mn, A adalah ring.
Apakah A mempunyai elemen satuan ?
5. Buktikan bahwa a2 – b2 = ( a + b ) ( a – b ) untuk setiap a,b elemen
ring R bila dan hanya bila R ring komutatif.
STRUKTUR ALJABAR II 13
C. Subring ( Ring Bagian )
Definisi c.1.
Suatu himpunan bagian tak kosong S dari ring R disebut subring dari R
jika S adalah ring terhadap kedua operasi pada R.
Contoh :
Ring dari bilangan bulat genap adalah subring dari ring himpunan
bilangan bulat.
Dan ring dari bilangan bulat adalah subring dari ring bilangan rasional.
Syarat perlu cukup agar S merupakan subring diberikan dalam teorema
berikut.
Teorema c.1.
Diberikan R ring dan S suatu himpunan bagian tak kosong dari R.
Maka S merupakan subring dari R bila dan hanya bila syarat berikut
dipenuhi :
Untuk a,bÎR , ab ÎS dan a-b ÎS.
Bukti :
Bila S merupakan subring dari ring R, berarti S adalah ring
terhadap kedua operasi dari R.
Maka dipenuhi :
1). Untuk setiap a,b ÎS, abÎS.
2). Untuk setiap a,b ÎS, a+b ÎS
3). Untuk setiap a ÎS, -a ÎS g
Contoh :
Diberikan F = M (R) melambangkan himpunan semua fungsi f : R ® R.
Diberikan (f+g) (x) = f(x) + g(x) ; untuk setiap xÎR.
(fg) (x) = f(x) g(x) ; untuk setiap x ÎR.
STRUKTUR ALJABAR II 14
Dapat dibuktikan bahwa M(R) dengan kedua operasi tersebut merupakan
ring.
Misalkan terdapat S yang merupakan himpunan dari semua fÎF
sedemikian sehingga f(1) = 0.
Maka S adalah subring dari F. Karena memenuhi definisi subring.
Himpunan S tak kosong karena 0FÎS. Karena 0F(x) = 0 untuk setiap xÎR.
Demikian juga 0F(1) = 0 maka 0FÎS.
Dan jika f dan g elemen dalam S maka
(f+g)(1) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0
(fg) (1) = f(1)g(1) = 0.0 = 0
Berarti f+g dan fg dalam S. Akhirnya, jika f(1) = 0 maka
(-f)(1) = -f(1) = -0 = 0.
Hal tersebut berarti, negatif dari setiap elemen S juga berada dalam S.
Contoh lain :
Diberikan R dan S ring.
Jika R Å S = { (a,b) | a Î R, b Î S }, dan didefinisikan operasi
penjumlahan dan perkalian sebagai berikut :
( a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = ( a1 + a2 , b1 + b2 )
( a1 , b1 ) (a2 , b2 ) = ( a1 a2 , b1 b2 )
Maka T = { ( a , 0 ) | a Î R } adalah subring dari R Å S.
STRUKTUR ALJABAR II 15
Soal Latihan
1. Buktikan bahwa { a+b 3 2 + c 3 4 | a,b,c ÎZ } adalah subring dari R.
2. Center dari ring R didefinisikan sebagai
{ c ÎR | cr = rc untuk setiap r ÎR }.
Buktikan bahwa center dari suatu ring adalah subring.
Apakah center tersebut merupakan ring komutatif ?
3. Jika R dan S adalah ring, buktikan bahwa himpunan dari elemenelemen
dalam jumlahan langsung R Å S yang berbentuk (a,0) dengan
a ÎR dan 0 adalah elemen nol dari S adalah subring dari R Å S.
4. Jika diketahui bahwa S dan T masing-masing adalah subring dari
ring R.
Buktikan bahwa S Ç T adalah subring dari R.
5. Diberikan R ring dan a Î R.
Jika S = { x Î R | ax = 0 } , buktikan bahwa S adalah subring R.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar